Signaux et systèmes : la chaîne de communication

Pourquoi commencer par la chaîne complète

Un téléphone qui envoie un message, une sonde spatiale qui transmet une image, un capteur qui remonte une mesure : tous suivent le même schéma. Une source produit de l'information, un émetteur la transforme en un signal adapté au canal, et un récepteur essaie de retrouver l'information à partir d'un signal déformé et bruité.

Tout le programme consiste à comprendre chaque bloc de cette chaîne, puis à les assembler. Ce premier jour pose le vocabulaire et les outils de calcul qui serviront jusqu'au jour 90.

Les blocs de la chaîne numérique

Bloc	Rôle	Exemple
Codage de source	Supprimer la redondance pour réduire le débit	Compression audio, JPEG
Codage de canal	Ajouter une redondance contrôlée pour corriger les erreurs	Codes de Hamming, LDPC
Modulation	Associer des bits à des formes d'onde transmissibles	QPSK, 16-QAM, OFDM
Canal	Propager le signal en l'atténuant, le déformant et le bruitant	Câble, fibre, air
Démodulation	Estimer les symboles émis à partir du signal reçu	Filtre adapté, décision
Décodage	Corriger les erreurs puis reconstruire l'information	Décodeur de Viterbi

Du côté réception, chaque bloc défait le travail de son homologue d'émission. La difficulté vient du canal : il ajoute du bruit, il atténue le signal et il peut le déformer (plusieurs trajets, effet Doppler, interférences).

À retenir — On ne peut pas supprimer le bruit. Tout l'art de l'ingénieur télécom consiste à transmettre le plus d'information possible malgré lui, avec une probabilité d'erreur acceptable.

Signaux : énergie et puissance

Un signal est une fonction du temps $x(t)$, réelle ou complexe. Deux grandeurs servent à mesurer sa « taille ».

L'énergie d'un signal est

$$E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \, dt.$$

Un signal est à énergie finie si $E_x < \infty$. C'est le cas d'une impulsion de durée limitée, comme un symbole transmis pendant un temps $T$.

La puissance moyenne d'un signal est

$$P_x = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 \, dt.$$

Un signal permanent, comme une sinusoïde ou un bruit, a une énergie infinie mais une puissance finie : on parle de signal à puissance finie.

Exemple chiffré. Pour $x(t) = A \cos(2\pi f_0 t)$, la moyenne de $\cos^2$ sur une période vaut $1/2$, donc

$$P_x = \frac{A^2}{2}.$$

Avec $A = 2\ \text{V}$ aux bornes d'une résistance normalisée de $1\ \Omega$, la puissance vaut $2\ \text{W}$.

Les décibels

Les puissances en télécoms couvrent des ordres de grandeur énormes : un émetteur de station de base envoie plusieurs dizaines de watts, un téléphone reçoit parfois moins d'un picowatt. On utilise donc une échelle logarithmique.

Un rapport de puissances en décibels :

$$G_{\text{dB}} = 10 \log_{10}\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).$$

Une puissance absolue en dBm, c'est-à-dire rapportée à 1 milliwatt :

$$P_{\text{dBm}} = 10 \log_{10}\!\left(\frac{P}{1\ \text{mW}}\right).$$

Quelques repères à connaître par cœur :

• un facteur 2 correspond à environ $+3$ dB, un facteur 10 à $+10$ dB ;
• $1\ \text{mW} = 0\ \text{dBm}$, $1\ \text{W} = 30\ \text{dBm}$ ;
• les gains et pertes en dB s'additionnent le long d'une chaîne, au lieu de se multiplier.

Exemple. Un émetteur de $1\ \text{W}$ ($30$ dBm) traverse un câble qui perd $3$ dB puis une antenne de gain $10$ dB. La puissance rayonnée équivalente vaut $30 - 3 + 10 = 37$ dBm, soit environ $5\ \text{W}$.

Le rapport signal sur bruit

Le rapport signal sur bruit (SNR) compare la puissance utile $P_s$ à la puissance du bruit $P_n$ :

$$\text{SNR} = \frac{P_s}{P_n}, \qquad \text{SNR}_{\text{dB}} = P_{s,\text{dBm}} - P_{n,\text{dBm}}.$$

C'est la grandeur qui décide de la qualité d'une liaison. Nous verrons à partir du jour 22 comment elle fixe la probabilité d'erreur, et au jour 31 comment elle limite le débit maximal (capacité de Shannon).

Le bruit de base de tout récepteur est le bruit thermique, de puissance $P_n = k T B$, où $k = 1{,}38 \times 10^{-23}\ \text{J/K}$ est la constante de Boltzmann, $T$ la température en kelvins et $B$ la bande en hertz. À $T = 290\ \text{K}$, cela donne environ $-174$ dBm pour chaque hertz de bande.

Systèmes linéaires invariants

Un système transforme un signal d'entrée $x(t)$ en un signal de sortie $y(t)$. Le canal, un filtre ou un amplificateur idéal sont des systèmes.

Un système est linéaire si la réponse à une somme est la somme des réponses, et invariant dans le temps si retarder l'entrée retarde simplement la sortie. Un tel système (LTI) est entièrement décrit par sa réponse impulsionnelle $h(t)$, et sa sortie s'écrit comme une convolution :

$$y(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\, h(t - \tau)\, d\tau.$$

Exemple. Un canal à deux trajets reçoit le signal direct et un écho atténué de moitié, retardé de $\tau_0$ : $h(t) = \delta(t) + 0{,}5\, \delta(t - \tau_0)$. La sortie vaut alors $y(t) = x(t) + 0{,}5\, x(t - \tau_0)$. Ce modèle très simple suffit déjà à expliquer pourquoi des symboles successifs peuvent se mélanger, un problème que l'OFDM résoudra au jour 52.

Ce qu'il faut retenir

• La chaîne numérique enchaîne codage de source, codage de canal et modulation à l'émission, puis les opérations inverses à la réception.
• Énergie : $E_x = \int |x|^2 dt$ pour les impulsions ; puissance moyenne pour les signaux permanents. Une sinusoïde d'amplitude $A$ a une puissance $A^2/2$.
• En dB, les gains et les pertes s'additionnent ; $0$ dBm $= 1$ mW et $30$ dBm $= 1$ W.
• Le SNR fixe la qualité de la liaison ; le bruit thermique vaut environ $-174$ dBm/Hz à 290 K.
• Un système LTI est décrit par sa réponse impulsionnelle, et sa sortie est une convolution.

Demain, en TD, vous appliquerez ces outils à des calculs de puissance, de décibels et de SNR.